Стена воды: математики смогли описать хаотические явления в океанах

// // Научно-популярные материалы //

Предполагается, что океанские течения и другие хаотические явления по самой своей сути непредсказуемы. Но математики находят метод описания безумия природы.

 

Для всего Мексиканского залива лето 2010 г. стало летом разлива нефти. Когда у берегов уизианы из аварийной скважины Deepwater Horizon компании British Petroleum хлынула нефть, туристы толпами ринулись прочь с побережья залива под влиянием распространяемых средствами массовой информации новостей о том, что нефтяное пятно направляется к берегу. Даже в таких удаленных от места аварии точках, как Форт-Майерс и Ки-Ларго во Флориде, пляжи опустели, а цены на проживание в гостиницах резко упали.

На самом деле ситуация никогда не была до такой степени ужасной — особенно на западном берегу Флориды. Эта часть побережья Мексиканского залива на все время разлива нефти была защищена невидимым водоразделом. Протянувшаяся над континентальным шельфом у побережья Флориды незаметная глазу преграда направляла нефть в другую сторону и препятствовала ее распространению далее на восток. Это была не какая-то твердая стена, а стена воды, которая перемещалась по мере того, как смещались океанские течения. Тем не менее она была столь же эффективной защитой, как настоящая дамба или плавучие ограждения нефтяно-
Ученые называют такие невидимые стены транспортными барьерами. Они — морской эквивалент континентальных водоразделов и разграничивают потоки воды, текущие в противоположныхнаправлениях. В хаосе океанских течений они служат дорожной картой, показывающей, по какому маршруту происходит движение. Хотя водные потоки зачастую кажутся практически непредсказуемыми, транспортные барьеры поддерживают определенный порядок и структуру их хаотического течения.

Изучение такого рода структур в последние годы очень активно развивается, а их значение оценено научным сообществом еще не в полной мере. Но ученые уже показали, как их исследования позволят объяснить, почему нефть, растекшаяся по поверхности залива в результате аварии, исчезла быстрее, чем ожидалось, и почему ни капли ее не просочилось в Атлантический океан через Флоридский пролив. Понимание природы этих течений, возможно, сделает более эффективной работу по очистке океана во время будущих катастроф. Ведущиеся исследования, вероятно, прольют свет и на то, как кровоток влияет на образование холестериновых бляшек в артериях, и помогут предсказать, каким образом вызывающие аллергию споры мигрируют в атмосфере.

Теория хаоса как наука сформировалось в 1970-х гг., когда ученые обнаружили, что в определенных природных явлениях даже мельчайшее возмущение может привести к кардинальным изменениям. Часто можно услышать присказку, что взмах крыльев бабочки в одной части света может вызвать едва уловимое изменение в воздушных потоках, которое спустя несколько недель, многократно усилившись, приведет к буре на другом континенте.

Основные положения:

  • Невидимые разделительные линии пролегают между потоками в океане и ветрами в атмосфере.
  • Такие транспортные барьеры, называемые лагранжевыми когерентными структурами, делают хаотические движение более предсказуемым.
  • Понимание этих структур может помочь при прогнозировании поведения нефтяных пятен и ликвидации аварий на нефтяных вышках, а также при выяснении особенностей циркуляции жидкостей, например кровотока.

Гидродинамические течения — включая течения газов, таких как воздух, и жидкостей, таких как морская вода, — по сути, самый типичный пример хаотических систем и одновременно один из самых распространенных: законы гидродинамики управляют самыми различными явлениями, начиная от Гольфстрима и кончая течением воздушного потока через турбину и траекторией мяча после крученого удара при выполнении штрафных в футболе. Математические уравнения, описывающие течение жидкости, были получены почти 200 лет назад Клодом-Луи Навье (в 1822 г.) и Джорджем Стоксом (в 1842 г.). Однако написать уравнения и решить их — отнюдь не одно и то же; решение уравнений Навье — Сток- са и поныне остается одной из самых трудных задач в математике.

Теоретически точное решение уравнений Навье — Стокса дало бы подробное предсказание поведения потока в будущем. Но точность ответа будет зависеть от того, насколько хорошо мы знаем, как говорят ученые, начальные условия. На практике вы никогда не сможете установить, в какую сторону движется каждая из молекул воды в океане, а в хаотической системе любая неопределенность— сродни эффекту бабочки — растет во времени экспоненциально. Ваше точное решение уравнения Навье — Стокса быстро превратится в одну из гипотетических возможностей.

И в то же время термин «хаотический» не означает «беспорядочный» или «непредсказуемый» — по крайней мере, в принципе. Где-то в минувшем десятилетии или около того математики создали теоретическую базу для описания устойчивых структур, таких как транспортные барьеры, прячущиеся в хаосе течений. В 2001 г. Джордж Халлер (George Haller), математик, ныне работающий в Университете Макгилла, придумал для этих структур довольно неуклюжее название «лагранжевы когерентные структуры». Более поэтично сложную структуру транспортных барьеров Халлер называет «скелетом турбулентности». Например, выявив эти структуры в теле жидкости, вы можете сделать кратко - и даже среднесрочные прогнозы того, куда течение жидкости понесет объект, даже не имея на руках точного решения уравнения Навье — Стокса.

На что же похож транспортный барьер? Вы наблюдаете его всякий раз, когда видите кольцо дыма. В его основе лежит притягивающая лагранжева когерентная структура — кривая, по направлению к которой частицы движутся по течению, словно их притягивает невидимый магнит. Обычно вы не замечаете такие структуры, но пустите в воздухе кольцо дыма: его частицы начнут концентрироваться вокруг нее и она станет заметной.

Гораздо труднее увидеть картину отталкивающих лагранжевых когерентных структур. Если бы эти кривые были видны, то мы увидели бы, что они отталкивают частицы прочь от себя. Заметить их было бы гораздо проще, если бы время можно было направить в обратную сторону (т.к. в этом случае они притягивали бы частицы), но поскольку это невозможно, единственный способ обнаружить лагранжевы когерентные структуры — выудить их с помощью компьютерного анализа. Эти трудно наблюдаемые отталкивающие структуры особенно важны потому, что, как математически доказал Халлер, они имеют тенденцию формировать транспортные барьеры.
Эксперимент, проведенный летом 2003 г. в заливе Мон- терей у побережья Калифорнии показал, что лагранжевы когерентные структуры в реальных водоемах можно просчитать в реальном времени. Математик Шон Шад- ден (Shawn С. Shadden) из Иллинойсского технологического института и его сотрудники изучали поверхностные течения в заливе, используя четыре высокочастотных радара, размещенных вокруг залива.

Анализируя данные, полученные с помощью радара, ученые обнаружили, что большую часть времени длинный транспортный барьер перемещается по заливу от мыса Пинос на южной оконечности почти до его северной стороны. Воды к востоку от барьера циркулируют вдоль залива, а к западу от него уходят в море. (Время от времени барьер отрывается от мыса Пинос и дрейфует в сторону моря.) Такая информация, вероятно, будет критически важна в случае разлива в акватории загрязняющих агентов.

Чтобы подтвердить, что структуры, выявленные путем вычислений, действительно ведут себя, как было обещано, группа Шаддена отследила движение четырех плавучих буев, которые они использовали в эксперименте совместно с Исследовательским институтом Аквариума залива Монтерей. Когда исследователи поместили плавучие буи в воды на противоположных сторонах транспортного барьера, то первый буй вместе с водой циркулировал по кругу внутри залива, в то время как другой, подхваченный течениями, отправился дрейфовать на юг вдоль побережья. Они также показали, что буй, помещенный в циркулирующую часть структуры, остается в заливе в течение 16 дней — несмотря даже на то, что для расчетов они использовали данные трех дней измерений. Такая устойчивость результатов подтверждает силу и постоянство транспортного барьера. В течение 16 дней он действительно оставался чем-то вроде невидимой стены в водах залива.
Счастливый исход катастрофы в заливе

Самая впечатляющая демонстрация концепции транспортного барьера была получена в результате разлива нефти в Мексиканском заливе в 2010 г. Океанографы и математики провели анализ огромных объемов данных, касающихся утечки, и показали, как эта информация может помочь ученым предсказать, куда направится нефтяное пятно.

Лагранжевы когерентные структуры, возможно, помогут объяснить, почему нефть, плававшая на поверхности, исчезла быстрее, чем кто-либо ожидал, — намного быстрее, например, чем нефтяное пятно, вылившееся из танкера Exxon Valdez в 1989 г. в заливе Принс-Уильям на Аляске. (Судьба нефти, ушедшей под воду, до сих пор остается предметом споров, и большие ее объемы, возможно, все еще покоятся на дне Мексиканского залива.) Оказалось, что теплые воды Мексиканского залива — прибежище для множества микроорганизмов, которые питаются углеводородами, пробивающимися естественным путем из-под земли в воды залива. Получив гораздо больше пищи (углеводородов), чем обычно, микроорганизмы эти неимоверно расплодились. Микробиолог Дейв Валентайн (Dave Valentine) и математик Игорь Ме- цик (Igor Mezic), оба из Калифорнийского университета в Санта-Барбаре, показали, что бактерии имеют тенденцию скапливаться в областях, определяемых транспортными барьерами. Очевидно, что долговременная стабильность этих областей способствовала быстрому разложению нефти. Валентайн отмечает, что сценарий был бы совершенно иным, случись выброс нефти у побережья Бразилии, еще одного региона, где были открыты гигантские глубоководные запасы нефти. Там течения направлены в океан, где нет естественных ареалов бактерий, которые могли бы переварить углеводороды.

Транспортные барьеры могут также объяснить, почему нефть, разлившаяся в результате аварии на платформе Deepwciter Horizon, не попала в Кольцевое течение, устойчивую водную струю, проходящую через Флоридский пролив в Атлантический океан, где она могла бы загрязнить пляжи вдоль всего восточного побережья полуострова. Еще 2 июля Национальное управление океанических и атмосферных исследований США (NOAA) предсказывало, что с вероятностью от 61% до 80% часть нефти попадет в Кольцевое течение. Эти предсказания основывались на данных 15-летних исследований океанского течения, выходящего из Мексиканского залива.

В 2010 г. нам, очевидно, очень повезло. Во-первых, необычайной силы юго-западные ветры отогнали нефтяное пятно на север, подальше от Кольцевого течения. Кроме того, гигантская воронка, называемая водоворотом Франклина, отделилась от Кольцевого течения и оттолкнула его дальше, чем обычно, на юг, образуя барьер между нефтяным пятном и течением. Остается лишь выяснить, можно ли было прогнозировать какое-либо из этих явлений. Однако Халлер вместе с океанографом Марией Оласкоагой (Maria Olascoaga) из Университета Майами показал, что другие, казалось бы непредсказуемые, изменения нефтяного пятна можно было предвидеть заранее.

17 мая, например, гигантский «тигровый хвост» (названный так из-за его формы) нефтяного пятна за один день внезапно переместился на 160 км на юго- восток. Согласно их компьютерному анализу, «тигровый хвост» перемещался вдоль притягивающей лагранжевой когерентной структуры, и предвестником надвигающейся нестабильности за семь дней до того стало формирование сильного притягивающего ядра этой структуры. Аналогично внезапное отступление кромки нефтяного пятна на запад 16 июня было предвосхищено за девять дней формированием исключительно сильного отталкивающего ядра к востоку от пятна. Если бы в то время велось наблюдение, которое позволило бы определить транспортные барьеры, суда для очистки акватории можно было бы сразу направить в нужные районы залива.

Концепция транспортного барьера в последние годы вышла за рамки разделов науки, изучающих океанские течения. Например, Шейн Росс (Shane Ross) из Виргинского политехнического института изучал влияние транспортного барьера в атмосфере на перенос патогенных аэрозолей. Совместно с биологом Дэвидом Шмале (David Schmale) из того же института они использовали небольшой беспилотник для сбора образцов воздуха на высотах от нескольких десятков до нескольких сотен метров над Блэксбергом. Когда притягивающая структура проходила мимо, или же когда две отталкивающие структуры следовали сразу же одна задругой, ученые зафиксировали пик в количестве спор грибка Fusarium. Росс выдвинул гипотезу, что в первом случае споры были притянуты к когерентным структурам, тогда как во втором они были захвачены между двумя отталкивающими барьерами, так же как стадо коров загоняют на небольшую площадку ударами плетей. Часть спор представляла собой виды, которые обычно не встречаются в Виргинии, и это дает основания полагать, что структуры сохраняются достаточно долго, если споры смогли перелететь на несколько сотен километров.

Сейчас Шадден изучает роль лагранжевых когерентных структур в кровообращении. Например, он использует их, чтобы обнаружить границы между кровью, выброшенной во время одного сокращения сердца и следующего за ним. Он показал, что большая часть крови в нормальном желудочке остается там не дольше чем в течение двух сокращений. Но у шести пациентов с увеличенным сердцем различные порции крови рецирку- лируют намного дольше — «широко признанный фактор риска тромбоза», написал он в черновике своей статьи.

Спустя более чем десять лет после того, как Халлер ввел в оборот термин, лагранжевы когерентные структуры все еще остаются на периферии исследований в океанографии и физике атмосферы. Один из доводов против них состоит в том, что если в измерения поля скорости течения вкрались ошибки, то они неизбежно будут умножаться и это приведет к ошибкам и в предсказаниях транспортного барьера. Но эксперимент в заливе Монте- рей показал, что расположение транспортных барьеров относительно нечувствительно к ошибкам измерений.

Другое возражение заключается в следующем: для того, чтобы рассчитать когерентные структуры, вам необходимо знать все поле скоростей потока, т.е. скорость воды в каждой точке. Но если вы знаете это, то можете предсказать перемещение нефтяного пятна, используя существующие компьютерные модели. Тогда ради чего весь этот сыр-бор с вычислениями лагранжевых когерентных структур?

Как оказалось, предсказание — не единственная сфера применения метода. «Ретроспективный прогноз», возможно, окажется важным для обнаружения источника «загадочных нефтяных пятен», которые прибивает к берегу неизвестно откуда — часто из затонувших судов.

Например, грузовое судно Jacob Luckenbach, которое затонуло недалеко от Сан-Франциско в 1953 г., загрязняет побережье Калифорнии ежегодно с 1991 г., но источник утечки нефти не был обнаружен до 2002 г. В результате падений самолетов и кораблекрушений также образуются скопления обломков и остовов. Поскольку традиционные модели океана не допускают реверсию во времени, спасатели не могут экстраполировать наблюдаемую картину распределения обломков на прошедшие события, чтобы выявить их источник. Океанограф С. Бигл-Краузе (C.J. Beegle-Krause) и математик Томас Пикок (Thomas Peacock) из Массачусетсского технологического института сейчас работают над использованием лагранжевых когерентных структур для предсказания, куда течения унесут потерпевших кораблекрушения. В таких ситуациях, отмечает Пикок, «даже несколько минут могут стать вопросом жизни и смерти».

Наконец, лагранжевы когерентные структуры могут стать чем-то большим, чем просто средство для прогнозов и ретроспективного анализа: они позволяют находить общее в частном. Выяснение этих структур позволяет ученым более точно интерпретировать прогнозы, полученные с помощью компьютерного моделирования. Если модель предсказывает, что нить нефтяного пятна будет двигаться в направлении Пенсаколы, и мы видим структуру, которая отталкивает или притягивает ее в этом направлении, мы можем быть достаточно уверенными в прогнозе. Если же соответствующая структура отсутствует, то модель, вероятно, следует рассматривать более скептически.

Сейчас математики расширяют свои исследования на другие типы организованных структур в турбулентных жидкостях, такие как струи и вихри. Углубив наше понимание, мы, вероятно, сможем найти ответы на вопросы, касающиеся хаотических явлений, которые сегодня от нас ускользают. 

Об авторе: Дана Маккензи (Dana Mackenzie) — независимый математик и автор книг о науке, проживает в Санта-Крузе, штат Калифорния. Ученую степень в области математики он получил в Принстонском университете, к тому же он обладатель одного из высших титулов Американской шахматной федерации. Его последняя книга «О Вселенной без слов» (The Universe in Zero Words) вышла в 2012 г. в издательстве Принстонского университета.

Перевод: А.П. Кузнецов